數學盲學機會率時想過的問題, 其實也不是功課的，就勉強放在「科學」的城池罷orz
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數學盲學機會率時想過的問題, 其實也不是功課的，就勉強放在「科學」的城池罷orz| 悲慘 |
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 五品官  發表數： 750 所屬群組： 一般 註冊日期： 3-08-2004 活躍：6 聲望：629  |
當時應該是中四，會考水平時學「機會率」。我無聊地替自己想題目然後做，結果卡住，當時定題是：
某甲：「我五時正之前一定出現。」假定當時是四時正，又假定他確實不會遲到，然後： 他在這小時出現的機會率是 ｐ＝１／１（我已經忘了格式了  ）他在四時半之後出現的機會率是 ｐ＝１／２（顯然這是數學盲亂填的格式，下面不重覆犯錯了） 他在四時四十五分出現的機會率是１／４ 但問題是時間可以無限分割成無限小的一段，那麼精確而言他要在這精確的一剎那內出現的機會率就是１／無限 分母無限的份數即是零。 那麼他在每一個時間最小內單位出現的機會率，都是零。 因為他在每一個（所有）「時間單位」都是「不可能出現的」。所以他不會出現。 我是犯了甚麼錯誤呢？ ＃ 小學有些低階的抽獎比賽，好像是謎語吧，要求同學把答案寫在紙上投進箱裡，規定每人不能重覆答題，每張答案紙只能填一個名一個答案，如果查出有人丟了兩張答案紙則取消資格。不過他的查，是抽獎時抽出三數名仁兄，如果見到兩張答案紙屬於同一個學生則取消資格。 小學時代覺得嘩很恐怖我不敢了，見到別人照樣投便說嘩這麼壞的人我才不跟你們玩，但讀書之後發覺要抽中你已經非常糟糕的難，所以你才會投兩張答案紙，而又要在這糟糕的機率中連中，連中的機會率那是可憐的低吧，這個機會比起一張都抽不中要高很多了。當然我一人把太多的答案紙投入箱內導至９９％都是我那是我白目，但把自己從0.1%升到3%左右好像是很聰明的做法。 那麼如果懶求學精神，又做伸手黨求答案的話，從 「參加者總數」「中獎者名額」「我的答案紙」 這三方面，如果用最低階的數學概念，應該怎麼列式才能計出「利益極大化」的比例出來？ 本篇文章已被 悲慘 於 Jun 29 2011, 19:45 編輯過 -------------------- 或者這樣說，人不可能要自己每句都是有價值的言論，只可以要求「好話」與「下一句好話」之間的廢話在你過濾的耐性之內。我們不是要編名著，能夠發掘些大家可能會有興趣的想法，其實夠好罷。
大家人一個，何苦呢又？ |
 
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| 茶水小妹蘋兒 |
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 還沒長大的傲嬌氣小蘋果呦 發表數： 1,623 所屬群組： 一般 註冊日期： 9-18-2003 活躍：9 聲望：490 |
數學盲解答.
題目1,因為分母無限的份數在不斷分時還是有東西(只是"趨近"零,不是零),平日會認為"趨近0可以算作0",乃是建基於這個機會率只有自己,或者數量少來說.比如說,只談"一秒後小明出現的機率",是0.0000005/無限",無其他條件,那基本上可以算作小明在一秒後不出現..然而小明現在有"無限/0.0000005"個精確的一剎那,不能把每個剎那中0.0000005/無限的可能性都算作零.在一剎那中出現的機會雖然少，然而一小時中卻有無限個一剎那。"無限/0.0000005"個一剎那，乘以0.0000005/無限的機會率，出現的機會率剛好是1，就是必定會在一小時中的某剎那出現。 地球大概也是這樣出現的吧。 ============== 題目2好難= =a不會~ a.若果是考慮現實情況，那主角大概是無法得知其他人實際投的，只能用博奕理論中假設每個學生都是理性的，都投一個optimum的紙量，然後自己再投一個相應的紙量，當然我沒有學過就是了。而且這也不算是最低階的數學觀念。 b.我只懂得設想其他同學都乖乖丟一張紙的情況，如果其他同學丟的紙量也是variables，那根本算式就很長很長了，因為也要計算到"其他每個小明小慧小芳被老師抓住，因而主角無損益"的機會率，那我猜大概要寫一個模型出來？ 比方說你丟了z張答案紙進題目箱,則: 「參加者總數」=x 「中獎者名額」=y 「我的答案紙」=z 抽獎比賽的獎品假設為a元 作弊被老師發現的苦果，要化為經濟學概念"效用"才能夠計算，比如說被老師罵一頓的不開心，相當於丟了b元的不開心 想要「利益極大化」的比例，即不被抓的機率乘以好處，大於被抓的機率乘以不好處 不被抓的機率:第n張被抽中,而其他不被抽中 被抓的機率:有兩張被抽中，較早被抽中的那張稱為第n張，較後抽中的那張稱為第m張 (以下用「*」代替乘號，x表示愛克斯) 想設想最「簡單」的情況列公式，但都覺得很煩，暫時先放棄了。 在這條中，大概要這樣想： x(參加者總數) --------------------------------------------*a > 抽中第一張的機率* 抽中第二張的機率*b [x(參加者總數)-1(1是我原本乖乖丟的紙) +z(我丟的紙量)] 代入x以外的未知數,再計算做x^3-x^2+x-9>0那些東西出來,再按計算機. 最後x四捨五入取整數,例如x為2.8則丟3張紙進去.(因為根據算式,丟3張紙的預期結果(expected value)會比丟2張和4張紙好) 本篇文章已被 茶水小妹蘋兒 於 Jun 30 2011, 02:19 編輯過 -------------------- I nyo talk funny, nyou talk funny!!!
孔子：「老而不死，是為賊。」 |
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| 徐元直 |
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 攤抖首領 發表數： 7,909 所屬群組： 君主 註冊日期： 9-18-2003 活躍：61 聲望：4175 |
(離題萬丈) 你們是數學盲，那這些人是甚麼...... 
這個跟芝諾悖論類似吧，如蘋所說的那樣，不能把無限當成有限來算。
可以按蘋的設想再簡化，假設你填寫的答案正確，不考慮輸贏的經濟效用，不考慮別人是否作弊，只考慮箱裡除我的答案之外共有幾張紙(x)，最後會抽出幾張紙(y)，我放幾張紙(z)，算出z=?的情況下勝出機率最大。 贏面等於在y輪抽紙片中只被抽中一張的機率，假設y=3，就有三種贏的可能性，直觀地寫出來公式如下： 第一輪中*第二輪不中*第三輪不中 z/(x+z)*[1-(z-1)/(x+z-1)]*[1-(z-1)/(x+z-2)] 第一輪不中*第二輪中*第三輪不中 [1-z/(x+z)]*z/(x+z-1)*[1-(z-1)/(x+z-2)] 第一輪不中*第二輪不中*第三輪中 [1-z/(x+z)]*[1-z/(x+z-1)]*[z/(x+z-2)] 贏面(w)就是這三種可能性相加： w=z/(x+z)*[1-(z-1)/(x+z-1)]*[1-(z-1)/(x+z-2)]+[1-z/(x+z)]*z/(x+z-1)*[1-(z-1)/(x+z-2)]+[1-z/(x+z)]*[1-z/(x+z-1)]*[z/(x+z-2)] x是已知，或者可以大概估計填一個數上去，那麼公式中的未知就只剩下w和z，可作一平面圖，w和z分別對應y軸和x軸，那麼通過看圖或者微積分計算(手動計算有點煩，用電腦就很快了)，你就可以找出曲線的頂點，也就是w(贏面)最大的那一點，所對應的z(我放幾張紙)是甚麼。 當然，如果你還想知道x(箱中除你以外共有幾張紙)的變化如何影響z(你放幾張紙)和w(贏面)的關係，也就是說把x視為變數而不是常數，那麼你就有三個變數，畫出來就是一張三維圖，而贏面就名副其實是一個「面」，因為它同時由「你放幾張紙」和「別人放幾張紙」這兩個座標決定。如果我的製圖技巧沒有生疏，公式沒寫錯，這張圖應該是以下這個樣子：  最底下的軸是箱中除你之外有多少紙條，從11到100，垂直的軸是贏面，最上面的軸是你投放多少紙條，從1到10，圖中紅色是贏面最高和最低的部分。從圖中可見，當別人的紙條在11左右的時候，你投放5張紙條，贏面最高。當別人的紙條在20左右，你就應該投放10張。這貌似是很誇張的作弊，整個箱子有近三分一都是你的答案，但如果你認為「不被抽中」和「被發現作弊取消資格」都是同樣的損失，那麼從數學角度來講就應該投放那麼多，才能最大化勝出機率。 以上是假設抽三次，但抽四次、五次乃至抽y次的情況都可用同樣算法解出，只是y越大可能性更多，公式會變得更長罷了。然而如果你還要更貪心，把「抽多少次」也當成變數，而不是常數，那就有四個變數，連3D圖也容納不下了，而且怎樣把四個變數的相互關係整合成一個涵數，我也想不出來，要留給不是數學盲的來解答了。 -------------------- ......
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| 耒戈氏 |
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反潮流才是王道！！ 發表數： 6,255 所屬群組： 太守 註冊日期： 7-15-2007 活躍：23 聲望：1540 |
看了元直的帖，有一些想法，把假設x很大，去找一個大約的最優解...
如果我假設抽獎箱中共有多少張紙 (x) (我用的定義有不同，主要是方便計算)，遠大於最後會抽出的紙數 (y)，要計算自己投的紙數(z)： 假設y是3， 第一輪中*第二輪不中*第三輪不中 = [z/x] * [1-(z-1)/(x-1)] * [1-(z-1)/(x-2)] 如果x很大的話，後面的-1, -2可以無視，即是： [z/x] * [1-(z-1)/x] * [1-(z-1)/x] = [z * (x-z+1) * (x-z+1)] / x^3 x很大，把+1也丟掉。 = [z * (x-z)^2] / x^3 同理，第一輪不中*第二輪中*第三輪不中 = [1-z/x] * z/(x-1) * [1-(z-1)/(x-2)] 用上上面的方式， [1-z/x] * z/x * [1-(z-1)/x] = [(x-z) * z * (x-z+1)] / x^3 = [z * (x-z)^2] / x^3 其他情況同理。可以見到，如果x很大，不論是第幾輪中，機率相差不大，而這個機率是(z/x) * (1-z/x)^(y-1) 留意一下我們要解的情況，其實要勝出，就是我們的紙要抽中exactly一次，而這種情況有y種。 所以，自己能勝的機率是y * (z/x) * (1-z/x)^(y-1) 設t = z/x，即是自己投紙對所有紙張的比例，繪圖見附件。 垂直的就是自己能勝的機率，t是自己投紙對所有紙張的比例，y是會抽出來的紙的數目。 要計算最大化自己的勝率，可以把我們得出的公式y * t * (1-t)^(y-1)對t做partial derivative，然後設等於0去找extrema，因為y是已知的。 y * t * (1-t)^(y-1)對t做partial derivative的結果是y * (-(1-t)^(y-2)) *(t * y - 1))(詳細的懶寫了) 然後解y * (-(1-t)^(y-2)) * (t * y - 1) = 0，得出t = 1/y (因為0<t<1)(這我用wolfram alpha給我解的，有時間也許自己會寫一個解出來)(事實上我還需要看那是maxima還是minima，不過這有時間再說吧，由圖看還應是沒錯的。) 這個解前提是x >> y，即是箱中紙的數目要遠超會抽出的紙的數目，而事實上，一般的抽獎也是這樣的。如果就悲慘提的情況，一班40人，抽出的紙的數目往往只有3-5張，是1/8至約1/13，這個前設也算合理的。 另一個前設是元直說的，你認為「不被抽中」和「被發現作弊取消資格」都是同樣的損失。 如果要考慮其他人怎投，那是博弈論了，有機會再討論吧，我也不太清楚囧 本篇文章已被 耒戈氏 於 Jul 8 2011, 07:06 編輯過 附帶圖片 ) |
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| 徐元直 |
發表於： Jul 7 2011, 15:38
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攤抖首領 發表數： 7,909 所屬群組： 君主 註冊日期： 9-18-2003 活躍：61 聲望：4175 |
應該是[z/x] * [1-(z-1)/x] * [1-(z-1)/x]？不過後面的沒錯。 t = 1/y這個關係，套用到我寫的y=3的情況之中，好像即使x不是很大，比如總共15張紙的情況下，也是成立的(y=3就是最佳情況要佔1/3也就是5張自己的答案)，那麼在x更小的情況下是否也是成立的？比如抽三次，有六張紙(y並非遠大於x)，自己應該放兩張，我要出門沒時間算......但如果沒錯的話，t = 1/y是不是所有情況下的統一解？ -------------------- ......
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| 阿暪 |
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 一品官 發表數： 5,279 所屬群組： 一般 註冊日期： 8-17-2004 活躍：35 聲望：1208 |
首先提一提, 你假設了在這一段時間裏他在哪一刻出現機會均等. 在這個假設下, 他出現的概率P(t) 為 1 (hr^-1) 4<=t<=5 P(t) 為 probability density function 而他在任何時間段 dt 出現的概率為 P(t)dt 如果不談哲學上無限與無限小的問題, 在數學上的定義這個是沒有問題的, 在有一個連續的variable的情況下, 大家都是用probability density function -------------------- 暗淡了刀光劍影，遠去了鼓角錚鳴
眼前飛揚著一個個鮮活的面容 湮沒了黃塵古道，荒蕪了烽火邊城 歲月啊！你帶不走那一串串熟悉的姓名 興亡誰人定啊！盛衰豈無憑啊！ 一頁風雲散啊...變幻了時空 聚散皆是緣啊！離合總關情啊！ 擔當生前事啊...何計身後評？ 長江有意化作淚，長江有情起歌聲 歷史的天空，閃爍幾顆星 人間一股英雄氣... 在馳騁縱橫... |
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| 阿暪 |
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一品官 發表數： 5,279 所屬群組： 一般 註冊日期： 8-17-2004 活躍：35 聲望：1208 |
第二題如下:
附帶圖片  -------------------- 暗淡了刀光劍影，遠去了鼓角錚鳴
眼前飛揚著一個個鮮活的面容 湮沒了黃塵古道，荒蕪了烽火邊城 歲月啊！你帶不走那一串串熟悉的姓名 興亡誰人定啊！盛衰豈無憑啊！ 一頁風雲散啊...變幻了時空 聚散皆是緣啊！離合總關情啊！ 擔當生前事啊...何計身後評？ 長江有意化作淚，長江有情起歌聲 歷史的天空，閃爍幾顆星 人間一股英雄氣... 在馳騁縱橫... |
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