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「簡單」幾何問題

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徐元直	發表於： Nov 13 2008, 08:20
攤抖首領發表數： 7,913 所屬群組：君主註冊日期： 9-18-2003 活躍：60 聲望：4176	恭喜樓上拿下三分。 -------------------- ......

徐元直	發表於： Nov 13 2008, 11:44
攤抖首領發表數： 7,913 所屬群組：君主註冊日期： 9-18-2003 活躍：60 聲望：4176	我發現我可能看錯你的答案了。你那個斜斜的直角是怎麼來的？ -------------------- ......

徐元直	發表於： Nov 13 2008, 12:28
攤抖首領發表數： 7,913 所屬群組：君主註冊日期： 9-18-2003 活躍：60 聲望：4176	給你們看個東西，不過好像是壞的...... http://s.vip.meyu.net/tan.php -------------------- ......

徐元直	發表於： Nov 13 2008, 12:37
攤抖首領發表數： 7,913 所屬群組：君主註冊日期： 9-18-2003 活躍：60 聲望：4176	如果覺得上一題「世界第二難」不過癮，下面這個是號稱「世界最難」的初等幾何題。已知有六種解法：附帶圖片 -------------------- ......

阿暪

發表於： Nov 13 2008, 13:07 　

一品官

發表數： 5,279
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註冊日期： 8-17-2004

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QUOTE (徐元直 @ Nov 13 2008, 20:37 )

如果覺得上一題「世界第二難」不過癮，下面這個是號稱「世界最難」的初等幾何題。已知有六種解法：

如果angle ABC 不等於 angle ACB, 那麼大三角沒有了等邊三角形的特質, 那不是更難嗎?

本篇文章已被阿暪於 Nov 13 2008, 13:19 編輯過

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暗淡了刀光劍影，遠去了鼓角錚鳴
眼前飛揚著一個個鮮活的面容
湮沒了黃塵古道，荒蕪了烽火邊城
歲月啊！你帶不走那一串串熟悉的姓名

興亡誰人定啊！盛衰豈無憑啊！
一頁風雲散啊...變幻了時空
聚散皆是緣啊！離合總關情啊！
擔當生前事啊...何計身後評？

長江有意化作淚，長江有情起歌聲
歷史的天空，閃爍幾顆星
人間一股英雄氣...
在馳騁縱橫...

徐元直

發表於： Nov 13 2008, 13:16 　

攤抖首領

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為甚麼號稱世界最難呢？出題者(某物理phd，幾十本考試攻略、數學技巧書作者)的話：

QUOTE

Some time ago, I wrote an article called “Are You A Genius” which was a 12 question test to determine genius IQ. Papers over the country published it. I had received hundreds of letters from readers who could not solve the last and rather simple looking geometry question. As a high school student in New York, it took me three hours to solve the problem. However, forty years later, even after being able to write 30 books on the subject of test preparation and thinking, I could not solve the problem and it was driving me crazy! Was I getting more stupid as the years passed? So I decided to put the 12 question test out again and if someone got all 12 questions right they would be called a super genius. I was hoping someone would be able to solve the last question and then tell me how they did it. I didn’t get any response except for tons of letters asking how the 12th problem could be geometrically solved. People at the highest levels in math at major universities, government agencies, you name it--could not solve the problem. Then I got an urgent call on a Friday from the Washington Post telling me that they were getting hundreds of calls every few hours asking for a solution to the problem. I told them I could not do it. Well that wasn’t good enough for them. They said I’d better have the solution to them by Tuesday (just four days!) or else! Or else, what?--they couldn’t sue me. For forty years I couldn’t solve the problem and now I had to solve it in four days. Didn’t I have better things to do over the weekend? Well I contacted everyone I knew who was literally a genius in math, top mathematicians in the country. I contacted fellow math students that I hadn’t talked to in thirty years, who went to school with me, and who were super math savvy and may have seen the problem. They were all eager and working on it. However Sunday rolled around and no one responded with a solution. People from NASA, from major math departments all over the country, even the top mathematicians at Educational Testing Service, the company that develops the majority of entrance, aptitude and achievement tests such as the SAT, could not solve the problem. In fact one person completely peeved, said that they worked 10 hours straight and couldn’t solve it! Then as a very last resort, I was able, by researching and making about 20 calls, to contact my old math professor who had given me the original problem to work on. Thirty years ago. But when I called him, (he must have been somewhat senile) he told me that I was “late for class and I’d better hand in my assignments.” He kept repeating this--what a bummer!--the last person on earth who could have given me the answer was incoherent! This was Sunday night. On Monday, I frantically again called the whiz kids I went to school with who were working on the problem and asked for any hints they thought I might use. Each one of them told me to use my own specific math strategies that I have been writing about for years and using in all my test-preparation and thinking books. For example, when you take geometry and want to prove that if two sides of a triangle are equal, the base angles are equal, the strategy you use is you draw a line down the triangle. This works because almost magically when you draw something extra, you get something for it--namely the more information and an approach to the solution. I never thought about that because I thought this problem was too sophisticated! It was Monday night now and I was working feverishly on the problem using my very own strategies. Tuesday morning came around and I just finished solving the problem. I told this to the Washington Post, they printed a full page solution and they wrote me up as “the super genius.”

There are actually now six ways to solve the problem and in the next installment, I’ll show the simplest one. I still get many letters from people asking how to solve the problem and have since gotten some similar solutions and two additional solution ones which now account for the total of six ways (so far) to solve the problem.

大意是，他讀高中時曾經解決過這個問題，幾十年後他又發表了這個問題，不過忘了答案，結果n多人抓破頭也算不出來。人們打電話到報社去追問答案，報社要他給出答案，他說他不知道，報社說你不知道就給你幾天時間算出來。結果他自己算了n小時還是算不出來，只好向數學好的朋友們求助，他聯絡了一堆在大學數學系、考試機構、NASA任職的傢伙，其中還包括一些(據稱)頂尖數學家，可還是沒人能給出答案(初等幾何的證明)，有人說自己連續算了十個小時還是毫無頭緒。最後他自己日算夜算，終於在報社給出的期限之前算出了答案。

其實這題的難度也許沒有那麼誇張，問題是要找對人，研究高等數學多年的人對這些初等幾何的敏感程度可能還不如一個能力較強的應考生。我覺得找一間較好的大學(比如說國內的頂尖大學)讓數學系的本科生去做，能在數小時內做出來的人大概會有不少吧。

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......

徐元直

發表於： Nov 13 2008, 13:25 　

攤抖首領

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QUOTE

如果angle ABC 不等於 angle ACB, 那麼大三角沒有了等邊三角形的特質, 那不是更難嗎?

也許是吧。我找到的初等幾何解法都牽涉許多相似、全等三角的證明，缺乏對稱性的圖證明起來大概會更難。

要不然你搞一題非等邊的類似問題自虐一下？用CAD就可以驗證答案。

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......

阿暪

發表於： Nov 13 2008, 13:29 　

一品官

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QUOTE (徐元直 @ Nov 13 2008, 21:25 )

QUOTE

如果angle ABC 不等於 angle ACB, 那麼大三角沒有了等邊三角形的特質, 那不是更難嗎?

其實如果不需硬性限制幾何方法的話, 這類問題只要用co-geom + trigo屈機就成了

本篇文章已被阿暪於 Nov 13 2008, 13:29 編輯過

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徐元直	發表於： Nov 13 2008, 13:40
攤抖首領發表數： 7,913 所屬群組：君主註冊日期： 9-18-2003 活躍：60 聲望：4176	但基本證明才是最優美的，不然只用量角器+尺就足以解決n多三角問題了。研究這些就好像做word puzzle，其實電腦辭庫+regular expression足以秒殺一切word puzzle，但親手去做才有樂趣(雖然我從來不做)。本篇文章已被徐元直於 Nov 13 2008, 13:43 編輯過 -------------------- ......

阿暪

發表於： Nov 13 2008, 13:46 　

一品官

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QUOTE (徐元直 @ Nov 13 2008, 21:40 )

但基本證明才是最優美的，不然只用量角器+尺就足以解決n多三角問題了。

只是想說不一定要CAD也可以驗證.

題外話, 其實特定角度(30度, 60度, 15度, 18度,......)的sin, cos數值, 也是源於幾何證明, 即使不是特定角度, 如果用compound angle formula, 那也還是由幾何系統走出來的. 當然, 到這樣的話就變成了用一個個的零件, 而不是最直接和優美的基本證明了.

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徐元直

發表於： Nov 13 2008, 14:19 　

攤抖首領

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QUOTE

只是想說不一定要CAD也可以驗證.

我說CAD是因為我猜你可能會有裝。

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......

阿暪

發表於： Nov 13 2008, 14:32 　

一品官

發表數： 5,279
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QUOTE (徐元直 @ Nov 13 2008, 21:25 )

QUOTE

如果angle ABC 不等於 angle ACB, 那麼大三角沒有了等邊三角形的特質, 那不是更難嗎?

也許是吧。我找到的初等幾何解法都牽涉許多相似、全等三角的證明，缺乏對稱性的圖證明起來大概會更難。

另外說說, 如果這問題沒有這些對稱性的話, 那個要找的角就會是複雜的trigo function, 而不是一個整數角度的角, 而問題也不是基本幾何所能解決了.

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coolxo	發表於： Nov 14 2008, 02:49
七品官發表數： 333 所屬群組：一般註冊日期： 7-21-2008 活躍：7 聲望：175	好難計....最多去到呢到附帶圖片 -------------------- 三國志11存檔劇本《岳飛傳》

阿暪	發表於： Nov 14 2008, 14:08
一品官發表數： 5,279 所屬群組：一般註冊日期： 8-17-2004 活躍：16 聲望：1208	在不少外國網站見到很多人說自己10分鐘至15分鐘解決找到了答案, 真不知他們是真的這麼聰明還是自己以為自己答對了 -------------------- 暗淡了刀光劍影，遠去了鼓角錚鳴眼前飛揚著一個個鮮活的面容湮沒了黃塵古道，荒蕪了烽火邊城歲月啊！你帶不走那一串串熟悉的姓名興亡誰人定啊！盛衰豈無憑啊！一頁風雲散啊...變幻了時空聚散皆是緣啊！離合總關情啊！擔當生前事啊...何計身後評？長江有意化作淚，長江有情起歌聲歷史的天空，閃爍幾顆星人間一股英雄氣... 在馳騁縱橫...

阿暪	發表於： Nov 14 2008, 17:02
一品官發表數： 5,279 所屬群組：一般註冊日期： 8-17-2004 活躍：16 聲望：1208	還沒有人給出正確答案? 需不需要我給一些提示? -------------------- 暗淡了刀光劍影，遠去了鼓角錚鳴眼前飛揚著一個個鮮活的面容湮沒了黃塵古道，荒蕪了烽火邊城歲月啊！你帶不走那一串串熟悉的姓名興亡誰人定啊！盛衰豈無憑啊！一頁風雲散啊...變幻了時空聚散皆是緣啊！離合總關情啊！擔當生前事啊...何計身後評？長江有意化作淚，長江有情起歌聲歷史的天空，閃爍幾顆星人間一股英雄氣... 在馳騁縱橫...

Caesar

發表於： Nov 14 2008, 17:24 　

Loop

發表數： 7,489
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聲望：2218

QUOTE (阿暪 @ Nov 14 2008, 22:08 )

在不少外國網站見到很多人說自己10分鐘至15分鐘解決找到了答案, 真不知他們是真的這麼聰明還是自己以為自己答對了

話說這題是香港一些中學的 mock卷題目 .

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Get busy living, or get busy dying.

.

耒戈氏

發表於： Nov 20 2008, 09:02 　

反潮流才是王道！！

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活躍：21
聲望：1540

QUOTE (阿暪 @ Nov 13 2008, 22:32 )

QUOTE (徐元直 @ Nov 13 2008, 21:25 )

QUOTE

如果angle ABC 不等於 angle ACB, 那麼大三角沒有了等邊三角形的特質, 那不是更難嗎?

也許是吧。我找到的初等幾何解法都牽涉許多相似、全等三角的證明，缺乏對稱性的圖證明起來大概會更難。

另外說說, 如果這問題沒有這些對稱性的話, 那個要找的角就會是複雜的trigo function, 而不是一個整數角度的角, 而問題也不是基本幾何所能解決了.

剛用WinGeom驗證過答案原來是整數，但是<ABC <> <ACB的話似乎就不是了
我想除了用Co-Geom之類的方法外也暫時想不出如何做了

本篇文章已被 耒戈氏 於 Nov 20 2008, 09:05 編輯過

阿瞞

發表於： Nov 21 2008, 00:57 　

八品官

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活躍：1
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QUOTE (耒戈氏 @ Nov 20 2008, 17:02 )

QUOTE (阿暪 @ Nov 13 2008, 22:32 )

QUOTE (徐元直 @ Nov 13 2008, 21:25 )

QUOTE

如果angle ABC 不等於 angle ACB, 那麼大三角沒有了等邊三角形的特質, 那不是更難嗎?

也許是吧。我找到的初等幾何解法都牽涉許多相似、全等三角的證明，缺乏對稱性的圖證明起來大概會更難。

另外說說, 如果這問題沒有這些對稱性的話, 那個要找的角就會是複雜的trigo function, 而不是一個整數角度的角, 而問題也不是基本幾何所能解決了.

剛用WinGeom驗證過答案原來是整數，但是<ABC <> <ACB的話似乎就不是了
我想除了用Co-Geom之類的方法外也暫時想不出如何做了

驗證過哪個情況? 如果說上面兩題 (30和20)當然是整數了. 之前是說如果是general case (那四隻角可以是任何角度)則不一定是整數. 當然也有其他特殊角度可以是整數.

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耒戈氏	發表於： Nov 21 2008, 04:37
反潮流才是王道！！發表數： 6,255 所屬群組：太守註冊日期： 7-15-2007 活躍：21 聲望：1540	只是看了上面那題，不過10,20,70也是special angle嗎

阿暪

發表於： Nov 21 2008, 14:05 　

一品官

發表數： 5,279
所屬群組：一般
註冊日期： 8-17-2004

活躍：16
聲望：1208

QUOTE (耒戈氏 @ Nov 21 2008, 12:37 )

只是看了上面那題，不過10,20,70也是special angle嗎

不是指30, 60, 90, 15, 45那些special angle, 是指即使在不對稱的情況下, 在某些特定角度下也能得出整數角度的答案....

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